Calculus`DSolveIntegrals`

大部分の非線形偏微分方程式には，一般解が存在しない．この場合は，完全積分可能系と呼ばれる，特殊解を十分に代表する系を見付けようと試みるCompleteIntegral関数を使うとよい．

方程式の完全積分は，その方程式のほとんどすべての境界値問題の解が完全積分の求積法で表せるという意味で，完全であることが知られている．従って，完全積分の働きは2階線形偏微分方程式に対するGreen関数の働きと同様である．

方程式の完全積分を求める

以下のようにパッケージをロードする．

In[1]:= <<Calculus`DSolveIntegrals`

ここで，B[1]とB[2]は，解のパラメータである．

In[2]:= CompleteIntegral[
Derivative[0, 1][u][x, y] == (u[x, y] +
x^2*Derivative[1, 0][u][x, y]^2)/y,
u[x,y], {x,y}]

Out[2]=

B[n]はCompleteIntegralの結果に現れるパラメータのデフォルト名である．パラメータ名は，オプションGeneratedParametersを使って選ぶことができる．これは，DSolveの結果の中で名前の決まっていない定数の名前が，このオプションを使って選ばれるのと同じことである．

以下は，完全積分のパラメータ名の変更方法を示している．積分はKamkeIIのExample 6.7である．

In[3]:= CompleteIntegral[-u[x, y] +
(2 + y)*Derivative[0, 1][u][x, y] +
x*Derivative[1, 0][u][x, y] +
3*Derivative[1, 0][u][x, y]^2 == 0,
u[x,y], {x,y}, GeneratedParameters -> F]

Out[3]=

参考文献

[KamkeII] E. Kamke, Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Band 2, Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung fur Eine Gesuchte Funktion, Academische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1948.