Mathematica によるバッキーボールの作成

古典数学および現代数学からの幾何学・代数の組合せ

Michael Trott

標準Mathematica パッケージの使用

多面体のプロパティを与える標準Mathematica パッケージをロードする．

以下で，バッキーボールを形成する不完全な20面体を生成する．

バッキーボールには32面ある．

以下で画像を見る．

以下では，バッキーボールの6角形と5角形が，サッカーボールのように異なる色で表示される．

第1原則からの構築

標準Mathematica パッケージの既存の多面体の定義を使わずに，Mathematica の基礎的な代数操作を使って，バッキーボールを第一原理から構築することができる．このようにすることの利点のひとつに，バッキーボールの座標すべてを数値近似としてではなく，厳密に得ることができるということが挙げられる．

まず，20面体の構築から始める．原点を中心とする20面体の頂点は，互いに垂直で縦横比がGoldenRatioである3つの長方形の頂点によって与えられる．以下がその構成である．

20面体には，頂点が12ある．

次に，20面体の辺を構築する．以下により，頂点のペアの間の距離をすべて求める正確な式が得られる．

数値近似である．

20面体の辺は頂点の全ペアにより，距離2で形成される．

20面体には30辺ある．

共通に厳密に3つを持つ3辺の組すべてを選ぶことにより，20面体の20面が得られる．

これでバッキーボールが構築できる．

三角形の20の面の頂点を切り取ることにより，6角形の面ができる．関数TruncatePolygonが因数f により，多面体を切り取る．

面を5角形にするには，まず任意の頂点で5角形のピラミッドを構築し（関数VertexConeを使う），このピラミッドを切り取る（関数TruncateConeを使う）．

これで以下のように，バッキーボールを構成する多面体（6角形と5角形）のリストが得られる．

結果となるオブジェクトの画像である．

以下は，バッキーボールの頂点の代数式を簡約する．

これが，バッキーボールを構成する多面体の最終的な式である（GoldenRatioを示すのに出力にが使ってある）．

体積と面積の計算

バッキーボールの頂点の座標に対する厳密な式を求めたので，このオブジェクトの体積や表面積などを正確に求めることができる．

これは，原点とバッキーボールの1面により形成されるピラミッドの仕様を生成する．

6角形の面1つと5角形の面1つの頂点を求める．

体積

完全なバッキーボールの正確な体積を求める．

数値である．

頂点がすべて，原点からの単位距離となるようにスケールされたバッキーボールでは，体積は以下により与えられる．

以下は，バッキーボールが外接球の体積の87%を占めるということを意味している．

表面積

以下により，バッキーボールの厳密な表面積が求められる．

頂点がすべて，原点からの単位距離となるようにスケールされたバッキーボールでは，表面積は以下により与えられる．

以下は，バッキーボールが外接球の表面積の94%を占めているということを意味している．