不等式の証明

Michael Trott

，，を非縮退三角形の各辺の長さとすると，次の不等式が成り立つ(M. Bjelica. FILOMAT 9, 117 (1995))．

Mathematica を使って，この不等式を簡単に証明してみる．

一般性を失うことなく，と仮定することができる．すると，左辺は2変数の関数に還元される．

ここでこの関数の等高線プロットを見て，この問題の大意をつかむ．

の傾きを取って，極小値を求める．

三角形は非縮退なので，分母は決してなくならない．従って，分子にのみ集中することができる．

の根をすべて求めるために，すべての平方根を排除して同等の多項式を構築する．3種類の平方根がある．

平方根に補助変数を導入する．

補助変数，，を排除すると，2つの多項式となる．

これら2つの多項式の共通のゼロには，のゼロが含まれる．以下がその次数である．

すべてのベキ乗が偶数なので，新しい変数を導入して次数を半分にする．

から変数を削除すると，についての1変数多項式が1つできる．

から変数を削除すると，についての1変数多項式が1つできる．

以下はに対するの根である．

正の根を選ぶ．

以下はに対するの根である．

ここでも正の根を選ぶ．

これで，に対する以下のような81個の潜在的最小化ペアが得られる．

の2つの関数を消滅させないペアを削除する．

これら4つのペアを元の式に代入して数値的に評価する．

これにより，三角形が正三角形のときは最小値はとなることが分かる．

最後に，領域の境界付近での動作を調べなければならない．

が無限大に近づくにつれ，は2に近づく．2はよりも大きいので，上で見付けた極小値は大域的最小値ということになる．