1.5.9 微分方程式

常微分方程式の解法

これは，微分方程式 の解である． C[1]は境界条件から求められなければいけない係数である．

In[1]:= DSolve[ y'[x] == a y[x] + 1, y[x], x ]

Out[1]=

適当な初期値が与えられると，不確定係数はなくなる．

In[2]:= DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ]

Out[2]=

のような代数方程式は変数に関する方程式である．これに対して， のような微分方程式は関数に関する方程式である． Mathematicaでは，常微分方程式は，常に， y[x]のような関数を使い明示的に与える必要がある．また，関数が依存する変数 xを明記する必要もある．つまり，式 は， y''[x] + y'[x] == y[x]と記述しなければならない． y'' + y' == yではいけない．

Mathematicaは，微分方程式が線形でも非線形でも，さらには，連立したのものでも解くことができる．ただし，十分な初期値や境界条件が与えられていないと，解は適当な数の不確定係数を伴った形でしか求まらない．また，DSolveが使われるたびに， C[1] , C[2] , ...のように不確定係数の番号は変わる．

初期値（もしくは境界条件）を与えないで，2つの連立微分方程式を解く．求まる解には不確定係数が2つ入る．

In[3]:= DSolve[ {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t]},
{x[t], y[t]}, t ]

Out[3]=

DSolveを使い y[x]に関する微分方程式の解が求まるとき， DSolveにより返される規則は，任意の式でどう y[x]を置換するかを指定した規則になる．しかし，これらの置換規則は，y'[x]のようなオブジェクトに対しては何も指定しない．そこで， DSolveで求まる解をさらに操作する必要がある場合は，y[x]についてではなく，yについて解を求めるようにした方がよい．

yの解を「純関数」として与える．

In[4]:= DSolve[ y'[x] == x + y[x], y, x ]

Out[4]=

今度は，置換演算子を使い解を yを含む任意の式に適用することができる．

In[5]:= y''[x] + y[x] /. %

Out[5]=

DSolveの計算結果にあるアンド記号(&)で示されるものは「純関数」である．純関数がどう作用するかは 2.2.5で説明する．

DSolveは代数方程式と微分方程式を組み合せたものも扱うことができる．また，複数の独立変数がある偏微分方程式も扱うことができる．