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3.2.10 特殊関数
数理物理学で一般的に使われ，標準的なハンドブックに載っているような特殊関数はすべて Mathematicaに入っている．さまざまな種類の特殊関数を順に見ていこう．
文献によっては特殊関数の定義が異なることがある． Mathematicaで特殊関数を使うとき，関数が以下に示す関係式で定義されるものであることを確認の上使う必要がある．
特殊関数でも，特定の値に対しては厳密な関数値を得ることができる．
In[1]:= Gamma[15/2]
Out[1]= 
今度は，結果の値を既知の形では表現できない．
In[2]:= Gamma[15/7]
Out[2]= 
一方，数値的な結果なら，任意の桁でも求めることができる．
In[3]:= N[%, 40]
Out[3]= 
特殊関数を複素数について計算することも可能である．
In[4]:= Gamma[3 + 4I] //N
Out[4]= 
特殊関数をリストの各要素に自動的に適用する．
In[5]:= Gamma[{3/2, 5/2, 7/2}]
Out[5]= 
Mathematicaは，導関数等の特殊関数の解析的特性をわきまえている．
In[6]:= D[Gamma[x], {x, 2}]
Out[6]= 
FindRootを使い，特殊関数であっても，その根を探すことができる．
In[7]:= FindRoot[ BesselJ[0, x], {x, 1} ]
Out[7]= 
Mathematicaにおいて特殊関数は，通常任意の複素数の引数に対して評価することができる．しかし，多くの場合，以下に示す定義関係式は，引数が特定の値を取るときに限り有効となる．そのような場合，完全な関数はこれらの関係式の適正な拡張，つまり「解析接続」に対応する．例えば，関数の積分表記は，該当する積分が存在するときに限って有効であるが，関数自体は解析接続により別の点においても通常定義することができる．
関数の定義域をどう拡張できるか，  の簡単な和を例に考えてみる．和は  のときだけに収束する．それでも，任意  に対して，この和を解析接続して得られる関数が  に等しい，ということは簡単に解析的に証明できる．この形を使うことで，少なくとも  でさえあれば，任意  に対して，和の関数の値を簡単に求めることができる．
ガンマ関数とこれに関連した関数
ガンマ関数とこれに関連した関数
オイラーのガンマ関数 Gamma[z]は，積分  によって定義される．  が正整数のとき，  の関係が成り立つ． は階乗を一般化した関数としてとらえられ，変数  は複素数でもよい．
特に整数論の計算では，ガンマ関数に対する対数が現れることがある．引数が正の実数のとき，これは，単に， Log[Gamma[z]]とすることで評価することができる．しかし，引数が複素数のときは，不規則な不連続点が発生してしまう．このため， Mathematicaには， LogGamma[z]と呼ばれる関数が特別に定義してある．同関数は，負の実軸に沿って分岐を持たせたガンマ関数の対数を与える．
オイラーのベータ関数 Beta[a, b]は，関係式  で定義される．
ポッホハンマー(Pochhammer)の記号 Pochhammer[a, n]は，関係式  で定義される．この関数は超幾何関数の級数展開でよく使われる．注意点として，定義式にあるガンマ関数が無限大になるときでも，ポッホハンマーの記号の値は確定する．
不完全ガンマ関数 Gamma[a, z]は，積分  により定義される． Mathematicaには一般化された不完全ガンマ関数 Gamma[a,  ,  ]が組み込まれている．後者は積分  で定義される．この定義から，不完全ガンマ関数  は Gamma[a, 0, z]として求まることが分かる．
不完全ベータ関数 Beta[z, a, b]は， で与えられる．不完全ベータ関数では，関数の第1引数であるパラメータ zが積分の上限を特定していることに注意する．これに対して，不完全ガンマ関数では，関数の第2引数の zが積分の下限を特定する．
不完全ベータ関数および不完全ガンマ関数はそのまま計算せずに，まず，正則化された形を求めた方が計算しやすくなることがある．ここで，正規形とは，完全ベータ関数（もしくは，完全ガンマ関数）で不完全形を割った形を意味する．不完全ベータ関数を正則化した関数として BetaRegularized[z, a, b]が用意されている．この関数は，引数のほとんどの値域で  の関係で定義され，特異点も扱うことができる．また，不完全ガンマ関数を正則化した関数 GammaRegularized[a, z]も用意されており，こちらは  の関係で定義され，特異点も扱うことができる．
不完全ベータ関数と不完全ガンマ関数，および，それらの逆関数は，統計でよく使われる．逆ベータ関数 InverseBetaRegularized[s, a, b]は，  における  の解である．同様に，逆ガンマ関数 InverseGammaRegularized[a, s]は， における  の解である．
ガンマ関数の導関数が有理級数の和を求めるときによく使われる．ディガンマ関数 PolyGamma[z]は  で与えられ，ガンマ関数の対数微分である．引数が整数のとき，ディガンマ関数は関係式  を満たす．ここで，  はオイラー定数 EulerGammaを示し， は調和数を示す．
ポリガンマ関数 PolyGamma[n, z]は， 微分式 で与えられる．ディガンマ関数は，  に対応している．また，  がガンマ関数の  階の対数微分であり，  階ではないことに注意する．また，ポリガンマ関数は関係式  を満たす．
ガンマやポリガンマ関数の多くの厳密な値は Mathematicaに組込み済みである．
In[1]:= PolyGamma[6]
Out[1]= 
ガンマ関数の絶対値の等高線プロットを複素平面上に作成する．
In[2]:= ContourPlot[ Abs[Gamma[x + I y]], {x, -3, 3},
{y, -2, 2}, PlotPoints->50 ]
Out[2]= 
ゼータ関数とこれに関連した関数
ゼータ関数とこれに関連した関数
リーマンのゼータ関数 Zeta[s]は，  のとき関係式  で定義される．整数を引数とするゼータ関数は，各種の総和や積分で使われる．整数を引数とするゼータ関数であれば（一部例外はあるが），厳密な値を Mathematicaで取得することができる．
 は，任意複素数  について解析的接続を持つ．複素数のゼータ関数は，整数論における素数分布の問題で中心的な役割を果たす．臨界線  上の値は特に重要とされる．
 を解析していく上で，2つの解析的なリーマン・ジーゲル(Riemann-Siegel)関数 RiemannSiegelZ[t]および RiemannSiegelTheta[z]を定義するとよい． RiemannSiegelZ[t]は，  が実数のとき，  で定義され， RiemannSiegelTheta[z]は， で定義される．  が実数なら，両関数は共に実数値になることに注意する．
スティルチェス(Stieltjes)の定数 StieltjesGamma[n]は， オイラーの定数を一般化したもので，  を極  の周りで級数展開したときの係数として現れる．  の係数が  で，オイラーの定数は  である．
一般化されたリーマンのゼータ関数またはフルヴィッツ(Hurwitz)のゼータ関数 Zeta[s, a]は，  の項を除いて で与えられる．
 の値は Mathematicaで厳密に得られる．
In[1]:= Zeta[6]
Out[1]= 
複素平面におけるリーマンのゼータ関数の絶対値を3Dでプロットする．
In[2]:= Plot3D[ Abs[ Zeta[x + I y] ], {x, -3, 3}, {y, 2, 35}]
Out[2]= 
次に，臨界線  上のリーマンのゼータ関数の絶対値をプロットする．最初のいくつかの関数のゼロ点を観測することができる．
In[3]:= Plot[ Abs[ Zeta[ 1/2 + I y ] ], {y, 0, 40} ]
Out[3]= 
多重対数関数 PolyLog[n, z]は で与えられる．多重対数関数はジョンキエール(Jonquière)の関数とも呼ばれる．2重対数PolyLog[2, z]は を満足する． は スペンス(Spence)の積分としても知られている．ニールセンの一般化された多重対数関数あるいは 超対数 PolyLog[n, p, z]は で与えられる．多重対数関数は素粒子論でのファインマン図形の積分および代数的K理論に現れる．
レルヒ(Lerch)の超越関数 LerchPhi[z, s, a]は，ゼータ関数および多重対数関数を一般化したもので，  の項を除いた関係式  で与えられる．負ベキ乗の和の多くがレルヒの超越関数を使って表せる．例えば，カタランのベータ関数  は  により求めることができる．
レルヒの超越関数は，統計力学におけるフェルミ・ディラック(Fermi-Dirac)分布に  の関係式で関連している．
また，レルヒの超越関数は，整数論に現れるディリクレ(Dirichlet)の L級数の評価にも使われる．基本  級数は，  を「指標」とする  の形を持つ．ここで，  は整数関数で周期  を持つ．この種の  級数は，  を  のベキとおき，レルヒの超越関数の和として書くことができる．
LerchPhi[z, s, a, DoublyInfinite->True]は，2重無限和  を与える．
指数積分とこれに関連した関数
指数積分とこれに関連した関数
Mathematicaは， ExpIntegralEおよび ExpIntegralEiの2つの形の指数積分を備えている．
指数積分関数 ExpIntegralE[n, z]は，  で定義される．
第2の指数積分関数 ExpIntegralEi[z]は，  のとき積分  で定義される．ここで，関数は同積分の  での主値で与えられる．
対数積分関数 LogIntegral[z]は，  のとき，  の  での主値で与えられる．整数論において  は素数の分布解析で中心的な役割を果たす．対数積分関数は，  とも表記される．整数論の応用の中には，主値を取らず，  と定義されるものもある．これは， Mathematicaで定義される  とは定数  の分だけ違う．
正弦と余弦の積分関数 SinIntegral[z]と CosIntegral[z]は， と  で定義される．双曲線正弦と双曲線余弦の積分関数 SinhIntegral[z]と CoshIntegral[z]は  ，  で定義される．
誤差関数とこれに関連した関数
誤差関数とこれに関連した関数
誤差関数 Erf[z]は，ガウス分布（正規分布）の密度関数を積分した  で与えられる．相補誤差関数 Erfc[z]は， で与えられる．虚部誤差関数 Erfi[z]は， で与えられる． 一般化された誤差関数 Erf[ ,  ]は，積分  で定義される．誤差関数は統計の計算で中心的な役割を果たしている．
逆誤差関数 InverseErf[s]は，  の方程式における解  で定義される．逆誤差関数は統計学における信頼区間の解析や，ガウス数を生成するための乱数生成アルゴリズムにおいて使われる．
誤差関数に深く関係を持つものに，フレネル(Fresnel)の積分 FresnelC[z]およびFresnelS[z]がある．前者は， により，また後者は， により定義され る．フレネルの積分は回折論の問題で使われる．
ベッセル関数とこれに関連した関数
ベッセル関数とこれに関連した関数
ベッセル(Bessel)関数 BesselJ[n, z]および BesselY[n, z]は，微分方程式 の線形独立な解である．整数  について  は  において正則になる一方，  は  において対数発散する．
ベッセル関数は，円柱対称系における微分方程式を解くために使われる．
第1種ベッセル関数  は単にベッセル関数とも呼ばれる．第2種ベッセル関数  はウェーバー(Weber)関数とも，ノイマン(Neumann)関数とも呼ばれる．後者の場合，  と特別に記される．
ハンケル(Hankel)関数，または，第3種ベッセル関数は  で定義され，ベッセルの微分方程式に対してベッセル関数とは別の形の基本解を与える．
球ベッセル関数は， で定義される．同関数は球対称を持つ系にかかわる問題において使われる．ベッセル関数の種類によって，関係式の  と  が，それぞれ，  と  ，  と  ，または，  と  に置き換えられる． Mathematicaは，整数  の球ベッセル関数を厳密な代数式で与えることができる．
変形ベッセル関数 BesselI[n, z]および BesselK[n, z]は，微分方程式  の解である．整数  について，  で  は正則になる一方， は， で対数発散してしまう．  は双曲ベッセル関数としても知られる．
特に，電子工学において，ケルビン(Kelvin)関数と呼ばれる関数がよく使われる．この関数は次のように定義される．  ,  .
エアリー(Airy)関数 AiryAi[z]および AiryBi[z]は，微分方程式  の2つの線形独立な解  および  である．  が正で増大するとき  は0に収束するが， は限りなく増大する．エアリー関数は，整数の1/3の次数を持つ変形ベッセル関数に関連している．エアリー関数とその導関数 AiryAiPrime[z]およびAiryBiPrime[z]は，電磁理論や量子力学の境界値問題によく見られる．
シュトルーベ(Struve)関数 StruveH[n, z]は整数 に対して の形式の非斉次ベッセル方程式の解に現れる．この方程式の一般解はシュトルーベ関数 が加えられたベッセル関数の線形結合からなる．変形シュトルーベ関数 StruveL[n, z]は通常のシュトルーベ関数から， の形式で与えられる．シュトルーベ関数は電磁理論でよく用いられる．
 をプロットする．理想的な鎖の一端を固定しもう一端を揺すったときに，鎖はこの曲線の形を取る．
In[1]:= Plot[ BesselJ[0, Sqrt[x]], {x, 0, 50} ]
Out[1]= 
次数を半整数とするベッセル関数に対応する明示的な代数式が生成される．
In[2]:= BesselK[3/2, x]
Out[2]= 
ここでプロットするエアリー関数は，左から右へと増大するポテンシャルにおかれた粒子が持つ量子力学的な振幅を与え る．古典的には侵入不能な右側の領域において振幅が指数的に減衰する様子がうかがえる．
In[3]:= Plot[ AiryAi[x], {x, -10, 10} ]
Out[3]= 
ルジャンドル関数とこれに関連した関数
ルジャンドル関数とこれに関連した関数
ルジャンドル関数およびルジャンドル陪関数は，微分方程式  を満たす．第1種ルジャンドル関数 LegendreP[n, z]および LegendreP[n, m, z]は，  および  が整数のとき，ルジャンドルの多項式に還元する．第2種ルジャンドル関数 LegendreQ[n, z]および LegendreQ[n, m, z]は，この微分方程式の別な線形独立な解を与える．これらは，  において対数的特異点を持つ．  および  は，  のときのこの微分方程式の解である．
ルジャンドル関数は，量子力学での散乱過程の解析に使われる．
ルジャンドル関数のタイプ（ LegendreQも同様なタイプに区分することができる）
タイプ1のルジャンドル関数は，  が複素平面上の単位円の内部にあるときのみに定義される．タイプ2のルジャンドル関数は，単位円の中でタイプ1と同じ値を持ち，さらに，単位円の外でも定義される．タイプ2の関数は  から  と，  から  で分岐を持つ．タイプ3のルジャンドル関数は，  から  だけで分岐を持つ．タイプ3は  と  と記述される場合もある．
円環関数，トロイド関数またはリング関数は，円環体対称を持つ系の問題で使われる．これらは，ルジャンドル関数を用いて  と  で表される．
円錐関数は  と  で表される．
 を整数としたとき関数 LegendreP[n, x]はルジャンドルの多項式に等しい．一方，  を任意の複素数としたときは，一般に，ルジャンドル関数になる．
同様に，任意な複素数の添数を持つとき，関数 GegenbauerC等は，ゲーゲンバウアの関数，チェビシェフの関数，エルミートの関数，ヤコビの関数，そして，ラゲールの関数を与える．ルジャンドルの陪関数と違い，これらの関数において型の区別はされない．
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
ここまでに説明してきた特殊関数の多くは，合流型超幾何関数 Hypergeometric1F1[a, b, z]の特殊形と見ることができる．
合流型超幾何関数は，級数展開      から求めることができる．  ，  が共に整数のときは特殊な結果が得られる．  で，かつ，  もしくは  のとき，この級数は，有限項からなる多項式になる．
 が負の整数か 0のとき， は無限大になる．それでも，  で与えられる正規化された合流型超幾何関数 Hypergeometric1F1Regularized[a, b, z]は，すべての場合において確定値を 持つ．
 から求まる関数には，ベッセル関数，誤差関数，不完全ガンマ関数，エルミートの関数，そして，ラゲールの関数がある．
関数  は，  あるいは  と表記されることもある．また，クンマー(Kummer)の関数と呼ばれることもある．
関数  を積分   として書くこともできる．
合流型超幾何関数  は，境界条件が  ，および，  のとき，クンマーの微分方程式  の解になる．
関数 HypergeometricU[a, b, z]は，クンマーの方程式の別な線形独立な解である．  ならばこの関数は十分に小さい  について  のように振る舞う．また，複素平面 の負の実軸に沿って分岐を持つ．
関数  は，積分  で表せる．
 も，  と同様にクンマーの関数として知られる．文献によっては  と表記される．
ホイッタカー(Whittaker)の関数は，クンマーの微分方程式に対して別の解を与える．ホイッタカーの関数  は，  の関係式で  に関連している．第2種のホイッタカーの関数  も，  を に置き換えると，同じ関係に従う．
放物柱関数は，  の関係式でホイッタカーの関数に関連している． が整数のとき，放物柱関数はエルミートの多項式に還元される．
クーロン(Coulomb)波動関数もまた，合流型超幾何関数の特殊な形の1つである．クーロン波動関数は，点状核のクーロンポテンシャルにおける放射型シュレディンガー(Schrödinger)方程式の解を与える．正則なクーロン波動関数は， で与えられる．ただし，  とする．
この他に合流型超幾何関数の特殊形としてトロント(Toronto)の関数  ， ポアソン・シャリェー(Poisson-Charlier)の多項式  ，カニンガム(Cunningham)の関数 ，そしてベーテマン(Bateman)の関数  がある．
関数 Hypergeometric0F1[a, z]は，  の関係式で合流型超幾何関数の極限を取ることで得られる．
関数  は，  と級数展開でき，微分方程式  を満たす．
第1種ベッセル関数は関数  で表すことができる．
超幾何関数と一般化
超幾何関数と一般化
超幾何関数 Hypergeometric2F1[a, b, c, z]は，  の級数展開を 持つ． この関数は，超幾何微分方程式  の解である．
また，超幾何関数は，   の積分としても書くことができる．
超幾何関数は  とも表記され，ガウス級数または，クンマー級数とも呼ばれる．
ルジャンドル関数，および他の直交多項式を一般化した関数はすべて，超幾何関数で表すことができる．また，楕円積分のすべてを関数  で表すことも可能である．
リーマンの微分方程式の解であるリーマンのＰ関数も， 関数の1つである．
一般化された超幾何関数または バーンズ(Barnes)の拡張超幾何関数
HypergeometricPFQ[  , ... ,   ,   , ... ,   , z] は  と級数展開できる．
マイヤー(Meijer)のG関数 MeijerG[   ,...,  ,   ,...,   ,    ,...,  ,   ,...,   , z] は線積分表現   で与えられる．積分路は の極と の極の間にあるものとする．マイヤーのＧ関数は非常に一般化された関数であり，これまでの数節で説明してきたほとんどの関数はマイヤーのＧ関数の特殊形として作ることができる．
2変数のアッぺル(Appell)の超幾何関数 AppellF1[a,  ,  , c, x, y]は と級数展開できる．この関数は例えば3次の多項式の任意のベキの積分に現れる．
乗積対数関数
乗積対数関数
乗積対数関数(product log function)は，方程式  における  についての解を与える．この関数は対数を一般化したものとみなせる．各種の超越方程式の解を表すために使うことができる．明確な分岐の数を数える関数は乗積対数と の関係にある．
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