3.2.12 マシューの関数とこれに関連した関数

マシューの関数とこれに関連した関数

マシュー(Mathieu)の関数MathieuC[a, q, z]と MathieuS[a, q, z]は，方程式の解である．この方程式は楕円形や周期性ポテンシャルにかかわった多くの物理問題で見られる．関数 MathieuCは について偶となるよう定義され， MathieuSは奇となるよう定義される．

のとき，マシューの関数は単なる と になる． がゼロ以外の値を取るとき， が特定の値を取るときに限り同関数は について周期性を持つ．そのような の値をマシューの特性値と呼び， MathieuCharacteristicA[r, q]，または， MathieuCharacteristicB[r, q]により得ることができる．ここで は整数か有理数とする．特性値は ，または， とも記述される．

が整数のとき，マシューの偶関数と奇関数の取る特性値 と は，各々， ， とも記述される．ここで，引数 と の並び順が逆になることに注意する．

フロケ(Floquet)の定理によると，任意のマシューの関数を の形で書くことができる．ここで， は周期 を持ち， はマシューの特性指数 MathieuCharacteristicExponent[a, q]である．したがって，特性指数 が整数，または，有理数を取るとき，マシューの関数は周期性を持つ．ただし，一般に， が実整数でないとき と は等しい．

このグラフは，最初の5つの特性値 を の関数として示す．

In[1]:= Plot[Evaluate[Table[MathieuCharacteristicA[r, q],
{r, 0, 4}]], {q, 0, 15}]

Out[1]=