3.8.2 曲線のフィット

与えられたデータセットに最も適した式を求めたいことがある．Mathematicaでこれを行う方法のひとつはFitを使うことである．

基礎的な線形フィット

素数の最初の20個の表である．

In[1]:= fp = Table[Prime[x], {x, 20}]

Out[1]=

データをプロットする．

In[2]:= gp = ListPlot[ fp ]

Out[2]=

素数データを1次曲線でフィットさせる．最適なフィットは関数 1と xの線形合成で得られる．

In[3]:= Fit[fp, {1, x}, x]

Out[3]=

フィットをプロットする．

In[4]:= Plot[%, {x, 0, 20}]

Out[4]=

もとのデータのグラフに重ね描きする．

In[5]:= Show[%, gp]

Out[5]=

次に2次曲線でフィットさせる．

In[6]:= Fit[fp, {1, x, x^2}, x]

Out[6]=

求まった2次曲線をプロットする．

In[7]:= Plot[%, {x, 0, 20}]

Out[7]=

もとのデータに重ね合わせると，2次曲線の方が1次曲線よりよくフィットしていることが分かる．

In[8]:= Show[%, gp]

Out[8]=

データ指定法

Fitは, , ... 形式のデータが与えられると連続するが連続する整数点1, 2, ... における関数の値に当たると仮定する．Fitには関数の任意の点における値に相当するデータを与えることもできる．次元は1次元でも多次元でもよい．

多変量フィット

， ， の値の表を作成する． Fitで取り込めるように Flattenをデータに作用させ，平坦化しておく．

In[9]:= Flatten[ Table[ {x, y, 1 + 5x - x y},
{x, 0, 1, 0.4}, {y, 0, 1, 0.4} ], 1]

Out[9]=

2変数の関数のフィットである．

In[10]:= Fit[ % , {1, x, y, x y}, {x, y} ]

Out[10]=

Fitは関数のリストを取り，明確で効果的な手順でこれらの関数のどのような線形結合がデータの最高の最小二乗フィットを与えるかを求める．しかし，指定の関数の線形結合だけからなるのではない「非線形フィット」を求めたいこともあるだろう．その場合はFindFitを使うとよい．FindFitはいかなる形の関数でも取り，データに最適のフィットを与えるパラメータの値を求める．

データの一般的なフィットを求める

これは素数のリストを項の単純な線形結合にフィットする．

In[11]:= FindFit[fp, a + b x + c Exp[x], {a, b, c}, x]

Out[11]=

結果はFitによるものと同じである．

In[12]:= Fit[fp, {1, x, Exp[x]}, x]

Out[12]=

これはFitでは扱えない非線形形式をフィットする．

In[13]:= FindFit[fp, a x Log[b + c x], {a, b, c}, x]

Out[13]=

デフォルトにより，FitとFindFitは両方とも「最小二乗」フィットを生み出す．これはを最小化すると定義することができる．ここではオリジナルの各データ点とフィットした値の差分を与える残差である．これとは別のノルムに基づいたフィットを考えることもできる．オプションNormFunction -> uを設定するとFindFitはu[r]を最小にするフィットを求めようとする．ここでrは残差のリストである．デフォルトはNormFunction -> Normで最小二乗フィットに対応している．

ここではというノルムを使っている．これはフィットとデータ間の最大距離を最小にする．結果は最小二乗とは多少異なる．

In[14]:= FindFit[fp, a x Log[b + c x], {a, b, c}, x,
NormFunction -> (Norm[#, Infinity] &)]

Out[14]=

FindFitは最適なフィットを与えるパラメータの値を求めるという形を取る．検索を始める点を指定しなければならないこともある．この指定はa, , b, , ... の形式でパラメータを与えることで行う．FindFitには検索方法をコントロールするためのたくさんのオプションがある．

FindFitのオプション